Description
P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1…N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.
第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7
Output
输出最小费用
5 4
3
4
2
1
4
Sample Output
1
Solution
先写出DP方程，设\(S_i=\sum _{j=1}^i C_j\)，
\[dp_i=min\{dp_j+(i-j-1+S_i-S_j-L)^2\}\]如何优化这个DP？
设j优于k，\(k < j < i\)，列出不等式
\[dp_j+(i-j-1+S_i-S_j-L)^2 < dp_k+(i-k-1+S_i-S_k-L)^2\]，化简得到
\[\frac{dp_j+A_j^2+2A_j+2LA_j-(dp_k+A_k^2+2A_k+2LA_k)}{2A_j-2A_k} < A_i\]设\(Y_j=dp_j+A_j^2+2A_j+2LA_j\)，\(X_j=2A_j\)，上式可写为：
\[\frac {Y_j-Y_k}{X_j-X_k} < A_i \]左边的东西就是斜率了，用斜率优化这个DP。
（一开始WA了一发，原来printf没用%lld…）
Code
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
| #include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 1<<30;
int getint() {
int r = 0, k = 1; char c = getchar();
for (; '0' > c || c > '9'; c = getchar()) if (c == '-') k = -1;
for (; '0' <= c && c <= '9'; c = getchar()) r = r * 10 - '0' + c;
return r * k;
}
LL Q[50005], F[50005], S[50005], A[50005];
LL n, L;
LL Fang(LL x) { return x * x; }
LL Y(int x) { return F[x] + A[x] * A[x] + A[x] * 2 * (L + 1); }
LL X(int x) { return A[x] * 2; }
LL DP(int i, int j) { return Y(j)+Fang(A[i])-A[i]*A[j]*2-A[i]*2+1-A[i]*L*2+L*2+L*L; }
LL UP(int a, int b) { return Y(a) - Y(b); }
LL DOWN(int a, int b) { return X(a) - X(b); }
int main() {
n = getint(); L = getint();
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
S[i] = S[i-1] + getint();
A[i] = S[i] + i;
}
Q[0] = 0;
int head = 0, tail = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
while (head + 1 < tail && UP(Q[head+1], Q[head]) < A[i] * DOWN(Q[head+1], Q[head]))
++head;
F[i] = DP(i, Q[head]);
while (head + 1 < tail && UP(i, Q[tail-1]) * DOWN(Q[tail-1], Q[tail-2]) <= UP(Q[tail-1], Q[tail-2]) * DOWN(i, Q[tail-1]))
--tail;
Q[tail++] = i;
}
printf("%lld\n", F[n]);
return 0;
}
|